نکته: جمله‌ی $n$‌ام دنباله‌ی هندسی به‌ صورت ${{t}_{n}}={{t}_{1}}{{r}^{n-1}}$ است که در آن ${{t}_{1}}$ جمله‌ی اول و $r$ قدر نسبت است.

فرض می‌کنیم $r$ قدر نسبت این دنباله‌ی هندسی باشد داریم:

$\frac{{{t}_{4}}}{{{t}_{6}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}{{r}^{3}}}{{{t}_{1}}{{r}^{5}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{{{r}^{2}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow r=\pm \sqrt{3}$

مقدار $r=-\sqrt{3}$ قابل قبول نیست، زیرا طبق فرض، تمامی جملات مثبت هستند.

${{t}_{1}}{{t}_{7}}=75\Rightarrow {{t}_{1}}\times ({{t}_{1}}{{r}^{6}})=75\Rightarrow t_{1}^{2}\times 27=75\Rightarrow t_{1}^{2}=\frac{25}{9}\Rightarrow {{t}_{1}}=\pm \frac{5}{3}$

مقدار ${{t}_{1}}=-\frac{5}{3}$ قابل قبول نیست، زیرا طبق فرض، تمامی جملات مثبت هستند، بنابراین:

${{t}_{3}}={{t}_{1}}{{r}^{2}}=\frac{5}{3}{{(\sqrt{3})}^{2}}=5$