$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{o}\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{o}\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|}^{2}}={{\left| -\overrightarrow{a} \right|}^{2}}$

$\Rightarrow \not{{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{c} \right|}^{2}}+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})=\not{{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}}$

$\Rightarrow 1+4+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})=0$

$\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}+\vec{b}.\vec{c}=-\frac{5}{2}=-2/5$