گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

اگر تابع $f(x)=\left\{ \begin{matrix}    \cos x\,\,\,\,\,;x\le \frac{\pi }{2}  \\    ax-b\,\,\,\,\,;x \gt \frac{\pi }{2}  \\ \end{matrix} \right.$ در $x=\frac{\pi }{2}$ مشتق‌پذیر باشد، $a$ و $b$ کدام است؟

1 ) 

$b=-1$ و $a=\frac{-\pi }{3}$

2 ) 

$b=-1$ و $a=\frac{\pi }{2}$

3 ) 

$b=\frac{-\pi }{3}$ و $a=-1$

4 ) 

$b=\frac{\pi }{2}$ و $a=1$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

برای مشتق‌پذیر بودن تابع در $x=\frac{\pi }{2}$ اولاً باید تابع در این نقطه پیوسته باشد، ثانیاً باید مشتق چپ و راست تابع در این نقطه برابر باشند.

$f(x)=\left\{ \begin{matrix}    \cos x\,\,\,\,\,;x\le \frac{\pi }{2}  \\    ax-b\,\,\,\,\,;x \gt \frac{\pi }{2}  \\ \end{matrix} \right.$ 

$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=a\frac{\pi }{2}-b\,\,,\,\,\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f\left( \frac{\pi }{2} \right)=0\Rightarrow \frac{a\pi }{2}-b=0\,\,\,(1)$ 

${ f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    -\sin x\,\,\,\,\,;x \lt \frac{\pi }{2}  \\    a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x \gt \frac{\pi }{2}  \\ \end{matrix} \right.$  

${{{f}'}_{-}}\left( \frac{\pi }{2} \right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1\,\,,\,\,{{{f}'}_{+}}\left( \frac{\pi }{2} \right)=a\Rightarrow a=-1$ 

$(1)\,\frac{a\pi }{2}-b=0\Rightarrow -\frac{\pi }{2}-b=0\Rightarrow b=-\frac{\pi }{2}$

تحلیل ویدئویی تست

تحلیل ویدئویی برای این تست ثبت نشده است!

جابر عامری