در یک بیضی، از رأس کانونی، قطر کوچک به زاویهٔ دیده می‌شود. طول قطر کوچک بیضی چند برابر فاصلهٔ کانونی است؟

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

بنظر میرسد شما قادر به دریافت پیامکهای ما نیستید!
لطفا برای فعال سازی کد
{{ receive_code }}
را از طریق شماره
{{ identity }}
به شماره
100078000
ارسال کنید.

منتظر بمانید تا فعال سازی انجام شود!

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

قوانین و مقررات را خواندم و می پذیرم.

قبلا ثبت نام کرده اید؟ وارد شوید!

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد! )

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

ورود | ثبت نام

لطفا کمی صبر کنید ...

دوست خوبم!
برای نگهداری سابقه خریدتان، نیاز به شماره موبایل (یا ایمیل) شما داریم.

موبایل یا ایمیل

رمزعبور اگه یادت نیس نزن :)

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

منتظر دریافت پیامک شما ...

ورود با رمزعبور

گزینه انتخاب شده در پاسخنامه درست نیست.

بیش از یک گزینه درست وجود دارد.

هیچ گزینه ای درست نیست.

اشکال تایپی در صورت سوال یا در گزینه ها وجود دارد.

این تست با تست دیگری در همین آزمون تشابه دارد.

در پاسخ تشریحی اشکال وجود دارد.

این تست خارج از بودجه بندی یا مبحث مورد نظر است.

سایر موارد

حداقل 25 کاراکتر باید وارد کنید.

درس 3: بیضی و سهمی هندسه (3) دوازدهم دوره دوم متوسطه- نظری علوم ریاضی درسنامه آموزشی این مبحث

در یک بیضی، از رأس کانونی، قطر کوچک به زاویهٔ ${{60}^{\circ }}$ دیده می‌شود. طول قطر کوچک بیضی چند برابر فاصلهٔ کانونی است؟

1 )

$\sqrt{3}$

2 )

$\sqrt{2}$

3 )

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4 )

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

نمایش پاسخ

از رأس $A$ قطر کوچک با زاویهٔ ${{60}^{\circ }}$ دیده می‌شود پس زاویهٔ $OAB$ برابر ${{30}^{\circ }}$ است و داریم:

$\tan {{30}^{\circ }}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{b}{a}\Rightarrow a=\sqrt{3}b$

سوال از ما رابطهٔ بین فاصلهٔ کانونی $(2c)$ و طول قطر کوچک $(2b)$ را خواسته! یعنی $a$ عامل مزاحم است به کمک رابطهٔ ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ داریم:

$\begin{align}
& \xrightarrow{a=\sqrt{3}b}3{{b}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}} \\
& \Rightarrow {{c}^{2}}=2{{b}^{2}}\Rightarrow c=\sqrt{2}b \\
\end{align}$

یعنی $\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,ya\,\frac{c}{b}=\sqrt{2}$ است.

بنابراین نسبت طول قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ کانونی برابر می‌شود با:

$\frac{2b}{2c}=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$