تقعر تابع $f$ زمانی رو به بالاست که $f'' \gt 0$ باشد. بنابراین:

$f(x)=\frac{{{x}^{2}}+9}{{{x}^{2}}+12}\Rightarrow f'(x)=(2x)\times \frac{12-9}{{{({{x}^{2}}+12)}^{2}}}=\frac{6x}{{{({{x}^{2}}+12)}^{2}}}$

$f''(x)=\frac{6{{({{x}^{2}}+12)}^{2}}-24{{x}^{2}}({{x}^{2}}+12)}{{{({{x}^{2}}+12)}^{4}}}$

$f''(x)\frac{6({{x}^{2}}+12)({{x}^{2}}+12-4{{x}^{2}})}{{{({{x}^{2}}+12)}^{4}}}=\frac{6(-3{{x}^{2}}+12)}{{{({{x}^{2}}+12)}^{3}}} \gt 0$

مخرج کسر همواره مثبت است، لذا:

$-3{{x}^{2}}+12 \gt 0\to {{x}^{2}} \lt 4\to -2 \lt x \lt 2$

تقعر نمودار تابع در بازهٔ $(-2,2)$ رو به بالاست پس می‌توان $a=-2$ و $b=2$ در نظر گرفت، بنابراین خواهیم داشت:

$max(b-a)=2-(-2)=4$