نکته: اگر f تابعی وارون‌پذیر باشد و داشته باشیم $f(a)=b$، آنگاه: ${{f}^{-1}}(b)=a$
نکته: فرم کلی تابع خطی به‌صورت y=ax+b است.
فرض کنیم ضابطهٔ تابع به‌صورت f(x)=ax+b باشد، در این صورت داریم:

$\left\{ \begin{matrix}
f(2)=4\Rightarrow 2a+b=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
{{f}^{-1}}(-5)=-1\Rightarrow f(-1)=-5\Rightarrow -a+b=-5 \\
\end{matrix}\Rightarrow a=3,\,b=-2 \right.$

بنابراین ضابطهٔ این تابع خطی به‌صورت $f(x)=3x-2$ است. برای به‌دست آوردن مقدار خواسته‌شده ابتدا مقدار f(4) را به‌دست می‌آوریم:

$f(4)=3\times 4-2=10\Rightarrow {{f}^{-1}}(3+f(4))={{f}^{-1}}(3+10)={{f}^{-1}}(13)$

راه‌حل اول: اگر فرض کنیم ${{f}^{-1}}(13)=t$، می‌توان نتیجه گرفت $f(t)=13$ بنابراین:

$3t-2=13\Rightarrow 3t=15\Rightarrow t=5$

راه‌حل دوم:
نکته: برای به‌دست آوردن ضابطهٔ تابع وارون یک تابع یک‌به‌یک مانند f(x)، در معادلهٔ y=f(x) در صورت امکان x را برحسب y محاسبه می‌کنیم. سپس با تبدیل y به x، ضابطهٔ ${{f}^{-1}}(x)$ را به‌دست می‌آوریم.
با استفاده از نکته، معکوس تابع خطی f(x) را به‌دست می‌آورریم:

$y=3x-2\Rightarrow y+2=3x\Rightarrow x=\frac{y+1}{3}\Rightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+2}{3}$

بنابراین: ${{f}^{-1}}(13)=\frac{13+2}{3}=5$

اگر در تابع خطی f، $f(۲)=۴$ و ${{f}^{-۱}}(-۵)=-۱$ باشد، مقدار ${{f}^{-۱}}(۳+f(۴))$ کدام است؟