نكته (قضيه‌ی سينوس‌ها): در مثلث دلخواه ABC داریم:

$\frac{a}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{b}{\operatorname{Sin}\hat{B}}=\frac{c}{\operatorname{Sin}\hat{C}}$

با توجه به اطلاعات مسئله، داریم:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow {{105}^{{}^\circ }}+\hat{B}+{{30}^{{}^\circ }}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow \hat{B}={{45}^{{}^\circ }}$

با توجه به شکل و نکته، داریم:

$\frac{AB}{\operatorname{Sin}{{30}^{{}^\circ }}}=\frac{AC}{\operatorname{Sin}{{45}^{{}^\circ }}}\Rightarrow \frac{AB}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow AB=2\sqrt{2}$

حال به‌کمک ارتفاع AH، خواهیم داشت:

$\left\{ \begin{matrix}
   \vartriangle ABH:\operatorname{Cos}{{45}^{{}^\circ }}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=2  \\
   \vartriangle ACH:\operatorname{Cos}{{30}^{{}^\circ }}=\frac{CH}{AC}\Rightarrow CH=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}  \\
\end{matrix} \right.$

بنابراین گزینه‌ی 2 پاسخ است.