فرض: ${x}'\lt {x}''$

در نتیجه:

$\left\{ \begin{matrix}\left. \begin{matrix}{x}''={x}'+2  \\ {x}'+{x}''=\frac{12}{a}  \\ \end{matrix} \right\}\to \left\{ \begin{matrix} {x}''-{x}'=2\Rightarrow 2{x}''=2+\frac{12}{a}\Rightarrow {x}''=1+\frac{6}{a}  \\ {x}''+{x}'=\frac{12}{a}\to 1+\frac{6}{a}+{x}'=\frac{12}{a}\Rightarrow {x}'=\frac{6}{a}-1  \\ \end{matrix} \right.  \\ {x}'.{x}''=\frac{5}{a}  \\ \end{matrix} \right.$            

بنابراین:

${x}'.{x}''=(\frac{6}{a}-1)(\frac{6}{a}+1)=\frac{36}{{{a}^{2}}}-1=\frac{5}{a}$

$\Rightarrow \frac{36-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{5}{a}\Rightarrow 36a-{{a}^{3}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow {{a}^{3}}+5{{a}^{2}}-36a=0\Rightarrow $

   $a({{a}^{2}}+5a-36)=0\left\{ \begin{matrix}a=0  \\ (a+9)(a-4)=0\left\{ \begin{matrix} a=-9  \\ a=4  \\  \end{matrix} \right.  \\ \end{matrix} \right.$  
  
$a=4\Rightarrow {x}''=1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2},{x}'=\frac{6}{4}-1=\frac{1}{2}$
${x}'+{x}''+a=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+4=3+4=7$