کدام یک از رابطه‌های $h$ و $k$ تابع است؟ دلیل بیاورید.

توجه کنید که ${f^{ - 1}}$ را نباید با $\frac{1}{f}$ اشتباه گرفت.

توابع یک به یک

چه توابعی وارون‌پذیرند؟ در فعالیت قبل تابع $f$ وارون‌پذیر بود ولی تابع $g$ وارون‌پذیر نبود. بنابراین سؤال اساسی این است که یک تابع باید چه شرطی داشته باشد تا وارون‌پذیر باشد؟

همان‌گونه که در فعالیت بالا دیده شد، اگر تابعی یک به یک باشد آن گاه وارون‌پذیر است.

محاسبه وارون یک تابع

اگر $f$ تابعی یک به یک باشد و ${f^{ - 1}}$ تابع وارون آن باشد، نمودار زیر کارکرد $f$ و ${f^{ - 1}}$ را نشان می‌دهد. در فعالیت بعد به‌صورت جزئی‌تر با کارکردهای $f$ و ${f^{ - 1}}$ و نحوهٔ به‌دست آوردن ${f^{ - 1}}$ آشنا می‌شویم.

عملیات به‌دست آوردن ${f^{ - 1}}$ را به کمک نمودارهای بالا توضیح دهید.

$f(x) = 2x + 5 \Rightarrow y = 2x + 5$
$\Rightarrow 2x = y - 5$
$\Rightarrow x = \frac{{y - 5}}{2}$
$\Rightarrow {f^{ - 1}}(y) = \frac{{y - 5}}{2}$
$\Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \frac{{x - 5}}{2}$

اگر تابعی یک به یک نباشد وارون‌پذیر هم نیست. اما گاهی با محدود کردن دامنه یک تابع، می‌توان تابعی یک به یک به‌دست آورد. به‌طور مثال تابع $f(x) = {x^2}$ یک به یک نیست، ولی با محدود کردن تابع به بازهٔ $\left[ {0,\infty } \right)$ و یا $\left( { - \infty ,0} \right]$ تابعی یک به یک به‌دست می‌آید.

مثال: نمودار تابع $g(x) = {x^2} - 2x + 3$ نشان می‌دهد که این تابع یک به یک نیست. به‌طور مثال $g(0) = g(2)$. می‌توان دامنه این تابع را محدود کرد و تابعی یک به یک به‌دست آورد و سپس وارون آن را حساب کرد.

در مورد تابع $g$ داریم:

${\mathbb{R}_g} = \left[ {2, + \infty } \right)$  و $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_g} = \mathbb{R}$

$g(x) = {x^2} - 2x + 3 = {(x - 1)^2} + 2$

دامنه $f$ را بازهٔ $\left[ {1, + \infty } \right)$ محدود می‌کنیم و تابع جدید را $f$ می‌نامیم.

بنابراین تابع جدید به‌صورت زیر خواهد بود که تابع یک به یک و وارون‌پذیر است.

$\left\{ \begin{gathered}   f:\left[ {1, + \infty } \right) \to \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\   f(x) = {(x - 1)^2} + 2 \hfill \\  \end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_f} = \left[ {1, + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{R_f} = \left[ {2 + \infty } \right)$

اکنون سعی می‌کنیم $x$ را برحسب $y$ به‌دست آوریم:

$y = {(x - 1)^2} + 2 \Rightarrow y - 2 = {(x - 1)^2} \Rightarrow {(x - 1)^2} = y - 2 \Rightarrow x - 1 =  \pm \sqrt {y - 2}$

جواب منفی قابل قبول نیست (چرا؟) بنابراین:

$x - 1 = \sqrt {y - 2}  \Rightarrow x = \sqrt {y - 2}  + 1 \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x - 2}  + 1$

در حقیقت داریم:

$\left\{ \begin{gathered}   {f^{ - 1}}:\left[ {2,\infty } \right) \to \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\   {f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x - 2}  + 1 \hfill \\  \end{gathered}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_{{f^{ - 1}}}} = \left[ {2, + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{R_{{f^{ - 1}}}} = \left[ {1, + \infty } \right)$

نمودار $f$ و ${f^{ - 1}}$ در یک دستگاه مختصات رسم شده‌اند.