برای اینکه تابع $f$ در $R$ مشتق‌پذیر باشد، باید هر ضابطه در دامنه‌ی خود مشتق‌پذیر باشد. همچنین تابع در $x=1$ هم مشتق‌پذیر باشد. از آنجا که هر ضابطه در دامنه‌‌ی خود مشتق‌پذیر است، بنابراین شرایط مشتق‌پذیری در $x=1$ را اعمال می‌کنیم:

1) تابع در $x=1$ پیوسته باشد:

$\displaystyle{\lim_{x \to 1^-}} f\left( x \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Rightarrow a+b=2\begin{matrix}    {} & \left( * \right)  \\ \end{matrix}$

2) ${f}'-\left( 1 \right)={f}'+\left( 1 \right)$ ، با توجه به ضابطه‌ی $f$ ، داریم:

${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}    3a{{x}^{2}}+b,x \lt 1  \\    \frac{4}{\sqrt{4x-3}},x \gt 1  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    {f}'-\left( 1 \right)=3a+b  \\    {f}'+\left( 1 \right)=4  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow 3a+b=4\begin{matrix}    {} & \left( ** \right)  \\ \end{matrix}$ 

بنابراین از $\left( ** \right),\left( * \right)$ نتیجه می‌شود که:

$\left\{ \begin{matrix}    a+b=2  \\    3a+b=4  \\ \end{matrix} \right.\to 2a=2\Rightarrow a=1\xrightarrow{\left( * \right)}b=1$