$f(x)={{x}^{3}}-(m+2){{x}^{2}}+3x$

$f(x)=3{{x}^{3}}-2(m+2)x+3x$

تابع همواره صعودی است، پس $f'(x)\ge 0$ پس:

$3{{x}^{2}}-2(m+2)x+3\ge 0$

برای آنکه عبارت درجهٔ دوم فوق همواره بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد باید ضریب ${{x}^{2}}$ در آن مثبت و $\Delta $ی معادلهٔ درجهٔ دوم کوچک‌تر یا مساوی صفر باشد.

$a=3 \gt 0$

$\Delta \le 0\Rightarrow 4{{(m+2)}^{2}}-36\le 0\Rightarrow {{(m+2)}^{2}}\le 9$

$\Rightarrow -3\le m+2\le 3$

حال طول نقطهٔ عطف را پیدا می‌کنیم:

$f''(x)=6x-2(m+2)=0\Rightarrow {{x}_{I}}=\frac{m+2}{3}$

$\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,-1\le \frac{m+2}{3}\le 1\Rightarrow -1\le {{x}_{I}}\le 1\Rightarrow {{x}_{I}}\in \left[ -1,1 \right]$