نکتۀ 1:

نکتۀ 2: اگر ${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$ معادلۀ گستردۀ یک دایره باشد، مختصات مرکز این دایره 

$O(\frac{{ - a}}{2},\frac{{ - b}}{2})$ است. شعاع این دایره برابر است با: 

$r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + 4c} $

نکتۀ 3: رابطۀ ${(x - \alpha )^2} + {(y - \beta )^2} = {r^2}$ معادلۀ دایره‌ای به مرکز $O(\alpha ,\beta )$ و شعاع r در صفحۀ مختصات است که به آن معادلۀ استاندارد دایره می‌گوییم.

مرکز دایرۀ ${(x - 1)^2} + {y^2} = 9$ نقطۀ O(1,0) و شعاع آن برابر r = 3 است. هم‌چنین مرکز دایره 

${x^2} + {y^2} - 2x + 2y - k = 0$ برابر $O'(1, - 1)$ بوده و شعاع آن برابر است با:

$r' = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} - 4( - k)}  = \frac{1}{2}\sqrt {8 + 4k}  = \frac{1}{2} \times \sqrt 4 \sqrt {2 + k}  = \sqrt {2 + k} $

طول خط‌المرکزین این دو دایره برابر است با:                            $d = OO' = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}}  = 1$

بنابراین با توجه به این‌که این دو دایره مماس درون هستند، داریم:

$d = \left| {r - r'} \right| \Rightarrow 1 = \left| {3 - \sqrt {2 + k} } \right| \Rightarrow 
   {3 - \sqrt {2 + k}  = 1}  \\
   {3 - \sqrt {2 + k}  =  - 1}  \\
  \Rightarrow 
   {\sqrt {2 + k}  = 2}  \\
   {\sqrt {2 + k}  = 4}  \\
  \Rightarrow 
   {2 + k = 4}  \\
   {2 + k = 16}  \\
  \Rightarrow 
   {k = 2}  \\
   {k = 14}  $