نكته: به طور كلی حد هر چندجمله‌ای به‌صورت $f(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ در $\pm \infty $ برابر حد جمله‌ای از آن است كه دارای بزرگ‌ترين درجه است؛ يعنی:

$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,({{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}})=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ 

مقادیر $\operatorname{Sin}x$ همواره محدود به بازه‌ی $\left[ -1,1 \right]$ است، يعنی: $-1\le \operatorname{Sin}x\le 1$ پس مطابق نكته داريم:

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x\pm \operatorname{Sin}x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x\pm \operatorname{Sin}x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x$ 

پس می‌توان نوشت:

$_{_{1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\operatorname{Sin}x}{x-\operatorname{Sin}x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1}^{{{l}_{1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\operatorname{Sin}x}{x-\operatorname{Sin}x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1}$ 

بنابراین گزینه‌ی ۱ پاسخ است.