با توجه به اینکه ${{S}_{n}}=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$، خواهیم داشت:
$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{S}_{n}}-{{n}^{2}}}{n+3}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\times \frac{n(n+1)}{2}-{{n}^{2}}}{n+3}$
$=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}+n-{{n}^{2}}}{n+3}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n+3}=1$