در مثلث ، مركز دايرهٔ محاطی داخلی را با و مركز دايرهٔ محاطی خارجی نظير رأس را با نشان می‌دهيم. نسبت كدام است؟ ( نصف محيط و ضلع روبه‌رو به زاويهٔ می‌باشد.)

درس 3: چند ضلعی‌های محاطی و محیطی هندسه (2) یازدهم دوره دوم متوسطه- نظری علوم ریاضی درسنامه آموزشی این مبحث

در مثلث $ABC$ ، مركز دايرهٔ محاطی داخلی را با $I$ و مركز دايرهٔ محاطی خارجی نظير رأس $A$ را با ${{I}_{a}}$ نشان می‌دهيم. نسبت $\frac{AI}{I{{I}_{a}}}$ كدام است؟ ( $p$ نصف محيط و $a$ ضلع روبه‌رو به زاويهٔ $A$ می‌باشد.)

1 )

$\frac{p-a}{p}$

2 )

$\frac{p}{p-a}$

3 )

$\frac{p-a}{a}$

4 )

$\frac{a}{p-a}$

نمایش پاسخ

$I$ و ${{I}_{a}}$ هر دو روی نيمساز داخلی زاويهٔ A قرار دارند، پس $A$ ، $I$ و ${{I}_{a}}$ روی يک خط می‌باشند. از مماس بودن دايره‌ها بر اضلاع نتيجه می‌گیریم:

$\left. \begin{matrix} I\hat{T}A={{I}_{a}}{\hat{T}}'A={{90}^{{}^\circ }} \\ I\hat{A}T={{I}_{a}}\hat{A}{T}' \\ \end{matrix} \right\}\xrightarrow{}A\overset{\Delta }{\mathop{T}}\,I\sim A\overset{\Delta }{\mathop{{{T}'}}}\,{{I}_{a}}$

$\Rightarrow \frac{AI}{A{{I}_{a}}}=\frac{IT}{{{I}_{a}}{T}'}=\frac{r}{{{r}_{a}}}$ (1)

و از طرفی می‌دانيم:

$\left. \begin{matrix} S=rp\Rightarrow r=\frac{S}{p} \\ {{r}_{a}}=\frac{S}{p-a} \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow \frac{r}{{{r}_{a}}}=\frac{\frac{S}{p}}{\frac{S}{p-a}}=\frac{p-a}{p}$ (2)