عدد $k$ را باتوجه به باقی‌ماندهٔ آن در تقسیم بر 5، به یکی از حالت‌های زیر می‌توان نوشت:

$\left\{ \begin{matrix}k=5q\begin{matrix}{}  \\\end{matrix}\begin{matrix}{}  \\\end{matrix}  \\k=5q+1  \\k=5q+2  \\k=5q+3  \\k=5q+4  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}{{k}^{2}}+1=5q'+1\begin{matrix}{}  \\\end{matrix}\begin{matrix}{} & {} & {}  \\\end{matrix}  \\{{k}^{2}}+1=5q'+2\begin{matrix} {}  \\\end{matrix}\begin{matrix}{} & {} & {}  \\\end{matrix}  \\{{k}^{2}}+1=5q'+5=5{{q}_{1}}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}  \\{{k}^{2}}+1=5q'+10=5{{q}_{2}}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}  \\{{k}^{2}}+1=5q'+17=5{{q}_{3}}+2  \\\end{matrix} \right.$

پس باقی‌ماندهٔ ${{k}^{2}}+1$ بر 5، می‌تواند یکی از اعداد صفر، 1 و 2 باشد.