نكته: تعداد جواب‌های صحيح و نامنفی معادلۀ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{k}}=n$ برابر است با: $\left( \begin{matrix} n+k-1  \\ k-1  \\ \end{matrix} \right)$

نکته: تعداد جواب‌های صحیح معادلهٔ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{k}}=n$ با شرایط ${{x}_{1}}\ge {{r}_{1}}$، ${{x}_{2}}\ge {{r}_{2}}$، .... و ${{x}_{k}}\ge {{r}_{k}}$، برابر است با:

$\left( \begin{matrix} n+k-({{r}_{1}}+{{r}_{2}}+...+{{r}_{k}})-1  \\ k-1  \\ \end{matrix} \right)$

ابتدا یکی از افراد را به $\left( \begin{matrix} 3  \\ 1  \\ \end{matrix} \right)=3$ حالت انتخاب می‌كنيم و يک خودكار به او می‌دهيم. اكنون ۷ خودكار ديگر را بين دو نفر طوری توزيع می‌كنيم كه هر نفر حداقل دو خودكار دريافت كند. بايد تعداد جواب‌های معادلۀ زير را به‌دست بياوريم.

$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7  \\ {{x}_{1}}\ge 2,{{x}_{2}}\ge 2  \\ \end{matrix} \right.\xrightarrow{{{y}_{i}}={{x}_{i}}-2\ge 0}{{y}_{1}}+{{y}_{2}}=7-4=3$

تعداد جواب‌های معادله برابر است با: $\left( \begin{matrix} 3+2-1  \\ 2-1  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4  \\ 1  \\ \end{matrix} \right)=4$

بنابراين تعداد حالت‌های موردنظر برابر است با: $3\times 4=12$