نکته‌ی 1: بر طبق روابط طولی در دایره، اگر دو وتر یکدیگر را در داخل دایره قطع کنند، حاصل‌ضرب قطعات ایجادشده روی یک وتر با حاصل‌ضرب قطعات ایجادشده روی وتر دیگر برابر است:

$AM\times BM=CM\times DM$

نکته‌ی 2: اگر دو ضلع یک مثلث و زاویه‌ی بین آن دو ضلع مشخص باشد، مساحت مثلث از روابط زیر به‌دست می‌آید:

$S=\frac{1}{2}bc\operatorname{Sin}\hat{A}=\frac{1}{2}ac\operatorname{Sin}\hat{B}=\frac{1}{2}ab\operatorname{Sin}\hat{C}$

ابتدا با توجه به نکته‌ی 1، می‌توانیم طول AE را به‌دست آوریم:

$AE\times EC=BE\times DE\Rightarrow AE\times 3=9\times 4\Rightarrow AE=\frac{36}{3}=12$$\begin{align}

و با توجه به نکته‌ی 2، با به‌دست آوردن مساحت چهارمثلث ایجادشده توسط قطرهای چهارضلعی، مساحت چهارضلعی را به‌دست می‌آوریم:

$\eqalign{ & {S_{ABCD}} = {S_{AEB}} + {S_{BEC}} + {S_{CED}} + {S_{AED}} \cr & = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \times \sin \theta + \frac{1}{2} \times 9 \times 3 \times \underbrace {\sin ({{180}^\circ } - \theta )}_{\sin \theta } + \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin \theta \cr & + \frac{1}{2} \times 4 \times 12 \times \underbrace {\sin ({{180}^\circ } - \theta )}_{\sin \theta } = 54\sin \theta + \frac{{27}}{2}\sin \theta + 6\sin \theta + 24\sin \theta \cr & = 84\sin \theta + \frac{{27}}{2}\sin \theta = \frac{{195}}{2}\sin \theta = 97/5\sin \theta \cr} $

با توجه به اندازه‌های روی شکل، مساحت چهارضلعی ABCD کدام است؟