گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!
فیزیک (1) دهم
1 نفر

می‌خواهيم مخزنی به شكل استوانۀ در باز بسازيم كه حجم آن برابر $6\pi $ متر مكعب باشد. قيمت مصالح موردنياز جهت كف مخزن برای هر متر مربع $300$ هزار تومان و اين قيمت برای ديواره‌ها در هر متر مربع $400$ هزار تومان است. ارتفاع استوانه را چند متر در نظر بگيريم، تا هزينۀ مصالح مصرفی كم‌ترين مقدار شود؟

1 ) 

$\sqrt[3]{2}$

2 ) 

$2$

3 ) 

$1/5$

4 ) 

$\sqrt[3]{4}$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

تابع هزينۀ ساخت اين مخزن به صورت زير است.

 $C=\pi {{r}^{2}}\times 300+2\pi r\times h\times 400$

همچنين حجم مخزن برابر $6\pi $ متر مكعب است، پس:

 $\pi {{r}^{2}}h=6\pi \Rightarrow h=\frac{6}{{{r}^{2}}}$

بنابراين تابع هزينه برحسب شعاع قاعده برابر است با:

 $C(r)=300\pi {{r}^{2}}+\frac{4800\pi }{r}$

می‌خواهيم مينيمم نسبی تابع به دست آمده را محاسبه كنيم:

 ${C}'(r)=600\pi r-\frac{4800\pi }{{{r}^{2}}}=0\Rightarrow 600\pi r=\frac{4800\pi }{{{r}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{3}}=8\Rightarrow r=2$

تنها نقطۀ بحرانی تابع هزينه در $r=2$ اتفاق می‌افتد. اين نقطه مينيمم نسبی تابع است و داريم:

$h=\frac{6}{{{r}^{2}}}=\frac{6}{{{2}^{2}}}=\frac{6}{4}=1/5$

تحلیل ویدئویی تست