سطح جانبی استوانه برابر با حاصلضرب محیط سطح مقطع در ارتفاع است:

$S'=2\pi rh$

و سطح قاعده استوانه مساحت دایره یعنی $S=\pi {{r}^{2}}$ است.

$S'+S=12\Rightarrow 2\pi rh+\pi {{r}^{2}}=12$

می‌خواهیم حجم استوانه یعنی $V=\pi {{r}^{2}}h$ ماکزیمم باشد. $V$ به دو متغیر $r$ و $h$ وابسته است. از رابطهٔ کمکی $2\pi rh+\pi {{r}^{2}}=12$ استفاده می‌کنیم و $h$ را برحسب $r$ پیدا می‌کنیم:

$h=\frac{1}{2\pi r}(12-\pi {{r}^{2}})$

$\Rightarrow V=\pi {{r}^{2}}\times \frac{1}{2\pi r}(12-\pi {{r}^{2}})=\frac{r}{2}(12-\pi {{r}^{2}})$

$\Rightarrow V(r)=6r-\frac{\pi {{r}^{3}}}{2}$

$V'(r)$ را می‌یابیم و نقطهٔ بحرانی را پیدا می‌کنیم:

$\begin{align}  & V'(r)=6-\frac{3}{2}\pi {{r}^{2}}=0\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{12}{3\pi }=\frac{4}{\pi } \\  & \Rightarrow r=\frac{2}{\sqrt{\pi }} \\ \end{align}$