نکته: فرض کنیم تابع $f$ بر بازهٔ $\left[ a,b \right]$ پیوسته و بر بازهٔ $(a,b)$ مشتق‌پذیر باشد، در این صورت:

الف) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)\gt 0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ صعودی اکید است.

ب) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)\lt 0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ نزولی اکید است.

ج) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)=0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ یک تابع ثابت است.

ابتدا مشتق تابع $f$ را مثبت در نظر می‌گیریم. از طرفی دقت داریم که ${{D}_{f}}=\left[ -1,+\infty  \right)$ است.

${f}'(x)=2x-4\times \frac{2}{2\sqrt{2x+2}}=2x-\frac{4}{\sqrt{2x+2}}$

${f}'(x)\gt 0\Rightarrow \frac{2(x\sqrt{2x+2}-2)}{\sqrt{2x+2}}\gt 0\Rightarrow x\sqrt{2x+2}\gt 2\Rightarrow {{x}^{2}}(2x+2)\gt 4$

$\Rightarrow 2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4\gt 0\Rightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2\gt 0\Rightarrow (x-1)({{x}^{2}}+2x+2)\gt 0$

${f}'(x)$ در بازهٔ $(1,+\infty )$ مثبت است، پس تابع $f$ در بازهٔ $\left[ 1,+\infty  \right)$ صعودی اکید است. بنابراین حداقل مقدار $a$ برابر 1 است.