نكته: در تابع $f$، مجموعه نقاط شامل نقاطی كه مشتقِ تابع در آن‌ها وجود ندارد و نقاطی كه مشتق در آن‌ها برابر صفر است را نقاط بحرانی $f$ می‌ناميم.

نكته: برای يافتن اكسترمم مطلق يک تابع كافی است ابتدا مقادير تابع را در نقاط بحرانی و نقاط ابتدا و انتهای بازه به‌دست آوريم. نقطه يا نقاطی كه بيش‌ترين مقدار تابع در آن‌ها اتفاق می‌افتد نقاط ماكزيمم مطلق تابع و مقدار تابع در اين نقاط مقدار ماكزيمم مطلق تابع است. همچنين در بين نقاط مذكور نقطه يا نقاطی كه كم‌ترين مقدار تابع در آن‌ها اتفاق می‌افتد نقاط مينيمم مطلق تابع و مقدار تابع در اين نقاط مقدار مينيمم مطلق تابع است. ابتدا نقاط بحرانی تابع را به‌دست می‌آوريم:

$f(x)=\frac{1}{2}\operatorname{Cos}2x+2\operatorname{Sin}x\Rightarrow {f}'(x)=-\operatorname{Sin}2x+2\operatorname{Cos}x=-2\operatorname{Sin}x\operatorname{Cos}x+2\operatorname{Cos}x=2\operatorname{Cos}x(-\operatorname{Sin}x+1)$

${f}'(x)=0\Rightarrow 2\operatorname{Cos}x(-\operatorname{Sin}x+1)=0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \operatorname{Cos}x=0\xrightarrow{x\in \left[ 0,2\pi \right]}x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \\ -\operatorname{Sin}x+1=0\Rightarrow \operatorname{Sin}x=1\xrightarrow{x\in \left[ 0,2\pi \right]}x=\frac{\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.$

از طرفی $x=0$ و $x=2\pi $ نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند. پس داريم:

$f(\frac{\pi }{2})=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$

$f(\frac{3\pi }{2})=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$

$f(2\pi )=\frac{1}{2}$

$f(0)=\frac{1}{2}$

طول نقطۀ ماكزيمم مطلق، $x=\frac{\pi }{2}$ است. بنابراين مقدار ماكزيمم مطلق برابر $\frac{3}{2}$ است.

تابع $f(x)=\frac{۱}{۲}\operatorname{Cos}۲x+۲\operatorname{Sin}x$ در بازهٔ $\left[ ۰,۲\pi \right]$ تعريف شده است. مقدار ماكزيمم مطلق تابع در بازهٔ داده شده كدام است؟