ابتدا پیوستگی تابع را در $x=1$ بررسی می‌کنیم:

$\left\{ \begin{matrix}    \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)= \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x-1}=\sqrt{1-1}=0,f\left( 1 \right)=0  \\    \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}} {\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)={{1}^{2}}+1=2  \\ \end{matrix} \right.$

بنابراین تابع در $x=1$ از راست پیوسته و از چپ ناپیوسته است، پس مشتق چپ وجود ندارد. مشتق راست تابع در $x=1$ به دست می‌آوریم:

${f}'+\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\sqrt{x-1}-0}{x-1}= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\times \sqrt{x-1}}= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{1}{\sqrt{x-1}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty $

حاصل حد، نامتناهی شده است، پس مشتق راست نیز وجود ندارد.