برای وضعیت سه نقطه دو حالت در نظر می‌گیریم:

حالت اول: $A$ و $B$ و $C$ در یک راستا باشند، نقطه‌ای وجود ندارد که از سه نقطه به یک فاصله باشد.

حالت دوم: $A$ و $B$ و $C$ در یک راستا نباشند، یعنی می‌توان با این سه نقطه مثلث رسم کرد. می‌دانیم مکان هندسی نقاطی که از $A$ و $B$ به یک فاصله باشند، عمود منصف پاره‌خط $AB$ است.

بنابراین مکان هندسی نقاطی که از سه نقطهٔ $A$ و $B$ و $C$ به یک فاصله باشد، محل برخورد سه عمودمنصف‌های $AB$ و $AC$ و $BC$ است. این نقطهٔ برخورد، محل همرسی عمودمنصف‌های مثلث $ABC$ (مرکز دایرهٔ محیطی مثلث $ABC$) است.

 در شکل $O$ محل برخورد عمودمنصف‌های اضلاع مثلث و مرکز دایرهٔ محیطی مثلث $ABC$ است.