سمت چپ تساوی را با اتحادهای زیر:

$\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \sin \beta \cos \alpha $$\cos (\alpha  + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta $

باز می‌کنیم:

$\sin (x + \frac{\pi }{6}) + \cos (x + \frac{\pi }{3}) = \cos 2x$$ \Rightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}\cos x + \cos x\cos \frac{\pi }{3} - \sin x\sin \frac{\pi }{3}$$ = \cos 2x \Rightarrow \cancel{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x}} + \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x$$ = \cos 2x \Rightarrow \cos x = \cos 2x$

در حالت کلی جواب معادلهٔ $\cos x = \cos A$ به صورت $x = 2k\pi  \pm A$ است، پس:

$\cos 2x = \cos x \Rightarrow 2x = 2k\pi  \pm x$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 2k\pi  + x \Rightarrow x = 2k\pi }\\{2x = 2k\pi  - x \Rightarrow x = \frac{{2k\pi }}{3}}\end{array}} \right.$

اجتماع دو جواب به دست آمده، می‌شود $x = \frac{{2k\pi }}{3}$.