چند جمله‌ای $P(x)$ بر $2x-1$ و $x+1$ بخش‌پذیر است، پس:

\[2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow P(\frac{1}{2})=4(\frac{1}{8})+a(\frac{1}{4})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2})+m=0\]    (1)   $\Rightarrow \frac{a}{4}+m=-\frac{3}{4}$ 

    (2)     $\Rightarrow a+m=\frac{9}{2}$ 

$x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow P(-1)=-4+a-\frac{1}{2}+m=0$ 

$(1),(2)\Rightarrow a=7,m=-\frac{5}{2}\Rightarrow P(x)=4{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ 

${{x}^{2}}+1=0\Rightarrow {{x}^{2}}=-1$ 

برای پیدا کردن باقی‌مانده‌ی تقسیم $P(x)$ بر ${{x}^{2}}+1$ کافی است در چند جمله‌ای $P(x)$ به‌جای ${{x}^{2}}$ ، مقدار $-1$ را قرار دهیم:

$\Rightarrow R(x)=4x({{x}^{2}})+7({{x}^{2}})+\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}x-\frac{19}{2}$