نکته: رابطهٔ ضمنی ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+ax+by+c=0$ نشان‌دهندهٔ یک دایره به مرکز $O(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$ و شعاع $R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c}$ است.

نکته: فاصلهٔ نقطهٔ $A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ از خط $ax+by+c=0$ برابر است با: $AH=\frac{\left| a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

ابتدا مختصات مرکز دایره را یافته و با توجه به شکل زیر داریم: 

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+m=0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c\gt 0$

$\Rightarrow 4+16-4m\gt 0\Rightarrow m\lt 5(1)$

مرکز دایره $O(1,-2)$

$AB=8\Rightarrow AH=\frac{1}{2}AB=4$

$OH=\frac{\left| 1+(-2)-3 \right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$O{{A}^{2}}=O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=8+16=24\Rightarrow R=OA=\sqrt{24}$

شعاع دایره$:R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4c}=\sqrt{24}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{4+16-4m}=\sqrt{24}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{4(5-m)}=\sqrt{24}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2\sqrt{5-m}=\sqrt{24}$

$\Rightarrow 5-m=24\Rightarrow m=-19\xrightarrow{(1)}$ قابل قبول است