$\frac{2\pi }{\left| a+1 \right|\pi }=\frac{2}{7}\Rightarrow \left| a+1 \right|=7\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a+1=7\Rightarrow a=6 \\ a+1=-7\Rightarrow a=-8 \\ \end{matrix} \right.$
چون $a\lt 0$ است، پس $f(x)=-8+\sin (-7\pi x)$ و در نتیجه:
$f(x)=-8-\sin (7\pi x)\Rightarrow \min (f(x))=-8-1=-9$
تذکر: کمترین مقدار تابع $y=a\sin bx+c$ برابر $-\left| a \right|+c$ است.