جمع کسر های تلسکوپی

کسر های تلسکوپی دنباله ای از کسر هایی اند که صورت آنها برابر با تفریق دو عددی ست که در مخرج با هم ضرب شده اند. برای مثال: 1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+...+1/(10*11) 2/(3*5)+2(5*7)+2/(7*9)+...+2/(99*101) در هر کسری که صورت آن برابر با تفاضل دو عددی باشد که در مخرج در یکدیگر ضرب شده اند ، حاصل آن برابر خواهد بود با صورت تقسیم بر عدد اول منهای صورت تقسیم بر عدد دوم که البته اثبات آن هم کر سختی نیست و در کامنت بعدی آن را اثبات می کنم. مثلاً: 2/(6*4)=2/6-2/4 در دنباله هایی که این کسرها با یکدیگر جمع شده اند ، به راحتی می توان حاصل آن را بدست آورد؛ زیرا هر کسر با کسر قرینه خود ساده می شود و حاصل برابر می شود با کسر اول منها کسر آخر. برای مثال: 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...-1/99+1/100=1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(99*100) می بینیم که در سمت چپ تساوی بالا همه کسر های بین 1/2 و 1/100 با یکدیگر قرینه اند و حاصل جمع آنها صفر میشود و تأثیری در جواب ندارند. پس حاصل عبارت بالا میشود: 49/100=1/2-1/100

(1/a) - (1/(a+b))=b/(a*(a+b)) مخرج مشترک می گیریم: (a+b-a)/(a/(a+b))= a در صورت با قرینه خودش میرود و : b/(a(a+b)) ثابت شد.