چالش‌های هندسه تحلیلی و مثلثات پیشرفته در ریاضی نهم

آرژین راشت ـArzhin rashet یک سوال چالشی و بسیار سخت از ریاضیات پایه دوازدهم (رشته ریاضی-فیزیک) آماده کردم: --- ### سوال (هندسه تحلیلی + مثلثات پیشرفته): مستطیل \( ABCD \) با اضلاع موازی بر محورهای مختصات در صفحه قرار دارد. رأس \( A \) در نقطه \( (1, 2) \) و رأس \( C \) در نقطه \( (7, 6) \) است. - الف) معادله دایره‌ای را بنویسید که بر هر چهار ضلع مستطیل مماس باشد. - ب) اگر نقطه \( P(x, y) \) روی قطر \( AC \) قرار داشته باشد و مجموع فاصله‌های آن از دو رأس \( B \) و \( D \) برابر با \( 10 \) باشد، مختصات \( P \) را بیابید. راهنمایی: - برای بخش الف، ابتدا مختصات تمام رئوس مستطیل را بیابید و مرکز و شعاع دایره محاطی را تعیین کنید. - برای بخش ب، از رابطهٔ پارامتریک خط \( AC \) استفاده کنید و شرط \( PB + PD = 10 \) را با فرمول فاصله اعمال نمایید. (منجر به یک معادله رادیکالی می‌شود!) نکته: این سوال ترکیبی از هندسه تحلیلی، معادلات رادیکالی و مثلثات است و نیاز به محاسبات دقیق دارد. --- ### سوال دوم (حسابان پیشرفته): تابع \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 13} + \sqrt{x^2 - 6x + 25} \) را در نظر بگیرید. - الف) کمینه مقدار \( f(x) \) را بیابید و ثابت کنید این مقدار یک minimum مطلق است. - ب) اگر \( f(x) = k \) دقیقاً دو جواب داشته باشد، بازهٔ ممکن برای \( k \) چیست؟ راهنمایی: - برای بخش الف، می‌توانید از تفسیر هندسی (فاصله بین نقاط) یا مشتق استفاده کنید. - برای بخش ب، از رفتار تابع و نقاط بحرانی کمک بگیرید. --- این سوالات در سطح المپیادهای ریاضی یا کنکورهای سراسریِ بسیار دشوار هستند.