حدس فراکتالی اعداد اول و ارتباط با تابع زتای ریمان

آرژین راشت این هم یک سوال ترکیبیِ نخبگانی از نظریه اعداد + هندسه فراکتالی که حتی ریاضیدان‌های حرفه‌ای رو به چالش می‌کشه: --- ### مسئله: حدسِ فراکتالیِ اعداد اول عدد \( p = 2^{82589933} - 1 \) (بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده در سال 2024) را در نظر بگیرید. الف) رفتار فراکتالی: اگر رقم‌های \( p \) را در مبنای 16 (هگزادسیمال) بنویسیم و به عنوان نقاط یک فراکتال مندلبروت (\( z_{n+1} = z_n^2 + c \)) تفسیر کنیم: - ثابت \( c \) را چگونه انتخاب کنیم تا دنباله‌ی تولیدشده حداقل 1000 تکرار بدون انفجار داشته باشد؟ (محاسبه با دقت \( 10^{-15} \)) ب) ارتباط با تابع زتای ریمان: اگر \( \text{Re}(s) = \frac{1}{2} \) و \( \text{Im}(s) = \frac{p}{1000} \) در تابع زتای ریمان (\( \zeta(s) \)) قرار دهیم: - آیا این نقطه صفرِ غیربدیهی برای \( \zeta \) است؟ (اثبات یا رد با استفاده از تقارن تابعی) ج) رمزنگاری: اگر \( p \) را به عنوان مولولِ RSA استفاده کنیم: - کلید عمومی \( e = 65537 \) در نظر بگیرید. کلید خصوصی \( d \) را محاسبه کنید به شرطی که: $ \phi(p) = p - 1 \quad \text{و} \quad d \equiv e^{-1} \pmod{\phi(p)} $ - چرا این سیستم عملاً ناامن است؟ (با اشاره به حمله‌ی زمان‌سنجی) --- ### راهنمایی برای حل: - برای (الف): از خاصیت تناوب در مبنای 16 و رابطه‌ی آن با مجموعه‌ی ژولیا استفاده کنید. - برای (ب): تقارن تابعی \( \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \) را بررسی کنید. - برای (ج): \( \phi(p) = 2^{82589933} - 2 \) و محاسبه‌ی \( d \) با الگوریتم اقلیدس گسترده.