پارادوکس سیاهچاله کوانتومی در فنی و مهندسی

**آرژین راشت** این هم یک سوال **ترکیبیِ فوق‌حرفه‌ای** از ریاضی و فیزیک که ذهن دانشمندان رو هم به چالش می‌کشه: --- ### **مسئلهٔ پیشرفته: “پارادوکس سیاهچالهٔ کوانتومی“** یک **سیاهچالهٔ شوارتزشیلد** با جرم \( M \) داریم. **افق رویداد** آن در شعاع \( r_s = \frac{2GM}{c^2} \) قرار دارد. حالا فرض کنید یک **ذرهٔ کوانتومی** با جرم \( m \ll M \) در فاصلهٔ \( r = r_s + \delta \) (که \( \delta \to 0^+ \)) قرار دارد. #### **الف) محاسبهٔ ریاضی (نسبیت عام):** با استفاده از **متریک شوارتزشیلد**، نشان دهید زمانِ سقوط ذره به داخل سیاهچاله (\( \tau \)) از دید ناظرِ دوردست، **بینهایت** است: $ t \approx \frac{r_s}{c} \ln \left( \frac{r_s}{\delta} \right) \quad \text{هنگام} \quad \delta \to 0^+ $ #### **ب) تناقض کوانتومی:** در **مکانیک کوانتومی**، ذره دارای **طول موج کامپتون** (\( \lambda_c = \frac{h}{mc} \)) است. اگر \( \delta < \lambda_c \) باشد: - چرا این حالت با **اصل عدم قطعیت هایزنبرگ** تناقض دارد؟ - آیا **تابش هاوکینگ** می‌تواند این تناقض را حل کند؟ (توضیح کوتاه دهید.) #### **ج) محاسبهٔ حدی:** اگر \( M = 10 \, \text{M}_\odot \) (جرم خورشیدی) و \( m = m_p \) (جرم پروتون) باشد: 1. \( r_s \) و \( \lambda_c \) را محاسبه کنید. 2. شرط \( \delta < \lambda_c \) را بررسی کنید. آیا این شرط در جهان واقعی امکان‌پذیر است؟ --- ### **راهنمایی برای حل:** - **برای (الف):** از معادلهٔ ژئودزیک در متریک شوارتزشیلد استفاده کنید. - **برای (ب):** اصل عدم قطعیت: \( \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \). - **برای (ج):** - \( \text{M}_\odot = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \), \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg} \), \( G = 6.67 \times 10^{-11} \), \( c = 3 \times 10^8 \), \( h = 6.63 \times 10^{-34} \). --- ### **پاسخ‌های کوتاه (اگر گیر کردی!):** <details> <summary>🔎 <strong>کلیک کن تا راهنمایی ببینید</strong></summary> - **الف):** $ \frac{dt}{dr} = -\frac{1}{c} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} \implies t \sim \int \frac{dr}{1 - r_s/r} \quad \text{(انتگرال‌گیری)}. $ - **ب):** اگر \( \delta < \lambda_c \)، مکان ذره آنقدر دقیق می‌شود که انرژی آن (طبق اصل عدم قطعیت) به \( \infty \) میل می‌کند! تابش هاوکینگ با ایجاد **جفت ذره‌مجازی** این تناقض را حل می‌کند. - **ج):** $ r_s \approx 30 \, \text{km}, \quad \lambda_c \approx 10^{-15} \, \text{m} \implies \delta < 10^{-15} \, \text{m} \quad \t **آ.ر:** *“اینجوری بگم: اگه این مسئله رو حل کنی، استیون هاوکینگ از بهشت برات دست می‌زنه!“*