محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه x در ناحیه دوم

برای محاسبه‌ی سایر نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی \( x \) با توجه به اینکه \( \sin x = 0.3 \) و \( x \) در ناحیه‌ی دوم قرار دارد، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم: ### 1. مشخصات ناحیه‌ی دوم: - در ناحیه‌ی دوم (\( \frac{\pi}{2} < x < \pi \)): - سینوس مثبت است (\( \sin x > 0 \)). - کسینوس منفی است (\( \cos x < 0 \)). - تانژانت منفی است (\( \tan x < 0 \)). ### 2. محاسبه‌ی کسینوس \( x \): از اتحاد مثلثاتی اصلی: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ $(0.3)^2 + \cos^2 x = 1$ $0.09 + \cos^2 x = 1$ $\cos^2 x = 1 - 0.09 = 0.91$ $\cos x = -\sqrt{0.91} \quad (\text{چون در ناحیه‌ی دوم کسینوس منفی است})$ $\cos x \approx -0.9539$ ### 3. محاسبه‌ی تانژانت \( x \): $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0.3}{-0.9539} \approx -0.3145$ ### 4. محاسبه‌ی کتانژانت \( x \): $\cot x = \frac{1}{\tan x} \approx \frac{1}{-0.3145} \approx -3.179$ ### 5. محاسبه‌ی سکانت \( x \): $\sec x = \frac{1}{\cos x} \approx \frac{1}{-0.9539} \approx -1.048$ ### 6. محاسبه‌ی کسکانت \( x \): $\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{0.3} \approx 3.333$ ### جواب نهایی: $\boxed{ \begin{aligned} \sin x &= 0.3, \\ \cos x &\approx -0.9539, \\ \tan x &\approx -0.3145, \\ \cot x &\approx -3.179, \\ \sec x &\approx -1.048, \\ \csc x &\approx 3.333. \end{aligned} }$

برای محاسبه سایر نسبت‌های مثلثاتی زاویه \( x \) در ناحیه دوم، ابتدا از مقدار سینوس استفاده می‌کنیم: 1. سینوس: $\sin(x) = 0.3$ 2. کوسینوس: در ناحیه دوم، کسینوس منفی است. با استفاده از رابطه \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) می‌توانیم مقدار کسینوس را محاسبه کنیم: $\cos(x) = -\sqrt{1 - \sin^2(x)} = -\sqrt{1 - (0.3)^2} = -\sqrt{1 - 0.09} = -\sqrt{0.91} \approx -0.9539$ 3. تنوین: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{0.3}{-0.9539} \approx -0.3146$ 4. کوتانژان: $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \approx -3.183$ 5. سیکان: $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \approx -1.0486$ 6. کوسیکان: $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \approx 3.3333$ نتایج نهایی: - \( \sin(x) = 0.3 \) - \( \cos(x) \approx -0.9539 \) - \( \tan(x) \approx -0.3146 \) - \( \cot(x) \approx -3.183 \) - \( \sec(x) \approx -1.0486 \) - \( \csc(x) \approx 3.3333 \)