نیمساز زاویه در مثلث قائم الزاویه

برای اثبات اینکه نیمساز زاویه قائمه در مثلث قائم‌الزاویه، نیمساز زاویه بین میانه و ارتفاع نظیر بر وترش هم هست، می‌توانیم مراحل زیر را دنبال کنیم: 1. تعریف مثلث: فرض کنید مثلث \( ABC \) قائم‌الزاویه باشد، به طوری که \( \angle ABC = 90^\circ \). 2. نقطه وسط وتر: نقطه \( D \) را به عنوان نقطه وسط وتر \( AC \) در نظر بگیرید. بنابراین، \( AD = DC \). 3. ارتفاع و میانه: ارتفاع \( BE \) از \( B \) به \( AC \) و میانه \( BM \) از \( B \) به \( D \) (نقطه وسط \( AC \)) را رسم کنید. 4. نیمساز زاویه: نیمساز زاویه \( \angle ABC \) را رسم کنید که به \( F \) می‌رسد. 5. بررسی زوایا: در مثلث \( ABC \)، می‌دانیم که زاویه \( \angle ABM \) برابر با \( \angle CBE \) است، زیرا \( BE \) ارتفاع و \( BM \) میانه است. 6. استفاده از قضیه‌های مثلثات: با توجه به خاصیت‌های مثلث قائم‌الزاویه، می‌توانیم نشان دهیم که زوایای \( \angle ABM \) و \( \angle CBE \) با زاویه نیمساز \( \angle ABC \) هم‌راستا هستند و لذا نیمساز زاویه \( ABC \) همان نیمساز زاویه بین میانه \( BM \) و ارتفاع \( BE \) خواهد بود. بنابراین، نتیجه می‌گیریم که نیمساز زاویه \( ABC \) در مثلث قائم‌الزاویه، نیمساز زاویه بین میانه و ارتفاع نظیر بر وترش خواهد بود. 😊