برای حل این مسئله، ابتدا مجموعه A را مشخص می‌کنیم:
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \)
ما باید زیرمجموعه‌های 5 عضوی از این مجموعه را پیدا کنیم به طوری که هیچ دو عضو از آن‌ها مجموعشان برابر 11 نشود.
زوج‌های عددی که مجموعشان برابر 11 هستند، به صورت زیر هستند:
- \( (1, 10) \)
- \( (2, 9) \)
- \( (3, 8) \)
- \( (4, 7) \)
- \( (5, 6) \)
این 5 زوج، نشان‌دهنده مجموعه‌ای هستند که نمی‌توانیم همزمان از آن‌ها استفاده کنیم. بنابراین، برای انتخاب 5 عدد از 10 عدد، باید از هر یک از این زوج‌ها تنها یکی را انتخاب کنیم.
برای این کار، ابتدا تعداد اعضای قابل انتخاب را بررسی می‌کنیم:
- از زوج \( (1, 10) \): می‌توانیم 1 یا 10 را انتخاب کنیم.
- از زوج \( (2, 9) \): می‌توانیم 2 یا 9 را انتخاب کنیم.
- از زوج \( (3, 8) \): می‌توانیم 3 یا 8 را انتخاب کنیم.
- از زوج \( (4, 7) \): می‌توانیم 4 یا 7 را انتخاب کنیم.
- از زوج \( (5, 6) \): می‌توانیم 5 یا 6 را انتخاب کنیم.
ما می‌توانیم از هر زوج یکی را انتخاب کنیم. بنابراین، تعداد انتخاب‌ها برابر با \( 2^5 = 32 \) می‌باشد.
با این حال، ما به یک زیرمجموعه 5 عضوی نیاز داریم و باید از مجموع 10 عدد، 5 عدد انتخاب کنیم. این بدین معناست که باید شرایط خاصی برای انتخاب‌های ما وجود داشته باشد.
ما فقط می‌توانیم 5 عدد را انتخاب کنیم، بنابراین می‌توانیم از هر یک از 5 زوج به صورت زیر انتخاب کنیم:
- از هر 5 زوج، یک عدد انتخاب می‌کنیم و تعداد انتخاب‌ها را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:
با این شرایط، زیرمجموعه 5 عضوی وجود ندارد که مجموع اعضا برابر 11 شود.
در نتیجه، تعداد زیرمجموعه‌های 5 عضوی که مجموع هیچ دو عضو آن‌ها برابر 11 نمی‌شود، برابر با \( 0 \) است.
