محاسبه حاصل ضرب 30 جمله اول دنباله ریاضی نهم

^ الگوی داده شده به صورت زیر است: $ 3, 6, 12, 24, \dots $ با توجه به اینکه هر عدد در این دنباله حاصل ضرب عدد قبلی با 2 است، الگو به این صورت خواهد بود که هر عدد دو برابر عدد قبلی است. بنابراین، فرمول عمومی این دنباله به صورت زیر است: $ a_n = 3 \times 2^{n-1} $ که در آن \(a_n\) نمایانگر \(n\)-امین جمله از دنباله است. ### هدف: محاسبه حاصل ضرب 30 جمله اول دنباله. حاصل ضرب 30 جمله اول به این صورت خواهد بود: $ P = 3 \times 6 \times 12 \times 24 \times \dots $ که این حاصل ضرب را می‌توان به صورت زیر نوشت: $ P = 3^{30} \times (2^0 \times 2^1 \times 2^2 \times \dots \times 2^{29}) $ حاصل ضرب توان‌های 2 را می‌توان به شکل یک دنباله حسابی نوشت. جمع توان‌ها به این صورت است: $ S = 0 + 1 + 2 + \dots + 29 $ که حاصل جمع این دنباله حسابی برابر با: $ S = \frac{29 \times 30}{2} = 435 $ بنابراین، حاصل ضرب 30 جمله اول به صورت زیر خواهد بود: $ P = 3^{30} \times 2^{435} $ با توجه به گزینه‌ها، گزینه صحیح برابر با: $ \boxed{4) \ 3^{435} \times 2^{435}} $