کمترین تعداد جواب‌های غلط در المپیاد ریاضی

برای حل این مسئله ابتدا باید توجه کنیم که اگر همه 100 دونده به درستی رتبه خود را اعلام کرده باشند، باید مجموع رتبه‌ها از 1 تا 100 باشد: $\text{Sum} = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{100(100+1)}{2} = 5050$ اما در اینجا مجموع رتبه‌ها 4666 است. پس می‌توانیم محاسبه کنیم که مجموع رتبه‌های اعلام شده چقدر کمتر از مجموع صحیح است: $\text{Difference} = 5050 - 4666 = 384$ حال فرض کنیم که \( x \) دونده به اشتباه رتبه‌ای بالاتر از 100 (یعنی از 101 تا 166) اعلام کرده‌اند. هر یک از این رتبه‌های غلط به نوعی باعث افزایش مجموع رتبه‌ها می‌شوند. به عبارت دیگر، اگر یک دونده به اشتباه \( a \) را اعلام کند (که \( a \) بین 101 تا 166 است)، پس ما باید ببینیم که چه مقدار از این افزایش را می‌توانیم جبران کنیم. برای هر رتبه غلط \( a \)، مقدار خطایی که ایجاد می‌شود برابر است با: $a - 100$ بنابراین، اگر \( x \) دونده به اشتباه رتبه‌های بین 101 تا 166 را اعلام کنند، مجموع خطاها به دست می‌آید: $\text{Total Error} = \sum_{i=1}^{x} (a_i - 100) = \sum_{i=1}^{x} a_i - 100x$ باید این مقدار برابر با 384 باشد. برای کمینه کردن تعداد جواب‌های غلط \( x \)، ما می‌خواهیم بیشترین مقدار ممکن از \( a_i \) را انتخاب کنیم. بزرگ‌ترین مقدار ممکن برای \( a_i \) برابر 166 است. بنابراین، اگر همه \( x \) دونده‌ها رتبه 166 را اعلام کنند، خواهیم داشت: $\text{Total Error} = 166x - 100x = 66x$ حال باید این مقدار را برابر با 384 قرار دهیم: $66x = 384 \implies x = \frac{384}{66} \approx 5.82$ به این ترتیب، کوچک‌ترین عدد صحیح بزرگ‌تر از 5.82 برابر با 6 است. بنابراین، کمترین تعداد ممکن جواب‌های غلط برابر با 6 است. جواب نهایی: 6