شعاع و مساحت دایره مماس بر دو خط در ریاضی یازدهم

برای حل این مسأله، ابتدا باید نقاط تقاطع دایره با دو خط داده شده را پیدا کنیم. الف) شعاع دایره دو خط داده شده را داریم: 1. $y = \frac{1}{2}x + 4$ 2. $x_2y_2 = 0$ (که در واقع دو خط $x = 0$ و $y = 0$ را در نظر می‌گیرد) دایره مماس بر این دو خط خواهد بود. شعاع دایره برابر فاصله عمود بر این دو خط از مرکز دایره است. برای محاسبه شعاع دایره، فاصله مرکز دایره (فرض کنید مرکز دایره در $(h, k)$ باشد) تا خط $y = \frac{1}{2}x + 4$ را محاسبه می‌کنیم. فرمول فاصله از یک نقطه $(x_0, y_0)$ به خط $Ax + By + C = 0$ به صورت زیر است: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ برای خط $y = \frac{1}{2}x + 4$، می‌توانیم آن را به فرم استاندارد تبدیل کنیم: $$\frac{1}{2}x - y + 4 = 0 \implies A = \frac{1}{2}, B = -1, C = 4$$ حال، فاصله از مرکز دایره $(h, k)$ تا این خط: $$d_1 = \frac{\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + (-1)^2}} = \frac{\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{2\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{5}}$$ برای خط $x = 0$ (محور y): $$d_2 = |h|$$ از آنجایی که دایره بر هر دو خط مماس است: $$d_1 = d_2 = r \text{ (شعاع دایره)}$$ بنابراین داریم: $$r = \frac{2\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{5}} = |h|$$ ب) مساحت دایره مساحت دایره با فرمول زیر محاسبه می‌شود: $$A = \pi r^2$$ حالا با دانستن شعاع $r$، مساحت را محاسبه می‌کنیم. برای محاسبه دقیق، نیاز به مقادیر $h$ و $k$ داریم که از شرایط مماس بودن به دست می‌آید. اگر بخواهیم به صورت عددی حل کنیم، می‌توانیم با فرض‌های خاصی برای $h$ و $k$ (مثل $k = 0$) به نتیجه برسیم. در نهایت: 1. شعاع دایره: $r = \frac{2\left| \frac{1}{2}h - k + 4 \right|}{\sqrt{5}}$ 2. مساحت دایره: $A = \pi r^2$ اگر اطلاعات بیشتری از $h$ و $k$ دارید، می‌توانیم محاسبات را دقیق‌تر انجام دهیم. 😊

فاصله یه نقطه از خط اول از خط دوم که میشه 2 رادیکال5 شعاع میشه رادیکال5 مساحت میشه 5پی دو خط موازیند فاصلشون میشه قطر دایره