چالش‌های ریاضی برای پایه هشتم

بسیار خوب، در اینجا سه سوال ریاضی چالش‌برانگیز برای شما مطرح می‌کنم: ### سوال اول: فرض کنید تابع \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). نقطه بحرانی (maximum یا minimum) و نقاط عطف این تابع را پیدا کنید. ### سوال دوم: در یک دایره با شعاع \( R \)، دو وتر به طول‌های \( a \) و \( b \) طوری قرار گرفته‌اند که عمود بر هم هستند. ثابت کنید که فاصله بین نقاط برخورد این دو وتر برابر است با \( \sqrt{R^2 - \frac{a^2 + b^2}{4}} \). ### سوال سوم: دو تابع \( f(x) \) و \( g(x) \) به صورت زیر تعریف شده‌اند: $ f(x) = \sin(x) + \cos(x) $ $ g(x) = \sin(2x) $ ثابت کنید که: $ f(x)^2 + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2 = 2 $ ### پاسخ سوالات: #### سوال اول: 1. مشتق اول تابع \( f(x) \) را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی را پیدا کنید: $ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 $ 2. نقاط بحرانی را با حل معادله \( f'(x) = 0 \) پیدا کنید. 3. مشتق دوم را محاسبه کنید تا نوع نقاط بحرانی را تعیین کنید. 4. نقاط عطف را با محاسبه مشتق دوم \( f''(x) \) و پیدا کردن نقاطی که \( f''(x) = 0 \) هستند پیدا کنید. #### سوال دوم: 1. از فرمول فاصله بین دو نقطه در دایره و استفاده از مثلثات برای اثبات استفاده کنید. 2. از نسبت‌های مثلثاتی و قضیه فیثاغورس بهره ببرید. #### سوال سوم: 1. مقدار \( f(x) \) را به دست بیاورید و \( f(x + \frac{\pi}{2}) \) را محاسبه کنید. 2. از هویت‌های مثلثاتی برای ساده‌سازی معادله استفاده کنید. 3. جمع دو معادله را محاسبه کنید تا به نتیجه برسید. امیدوارم این سوالات چالش‌برانگیز باشند و به شما کمک کنند تا مهارت‌های ریاضی خود را تقویت کنید. اگر نیاز به توضیح یا راهنمایی بیشتر دارید، خوشحال می‌شوم که کمک کنم! 😊