برای حل این سوال، از قانون بقای انرژی مکانیکی و اصول برخورد استفاده می‌کنیم.
### مرحله اول: محاسبه سرعت سنگ قبل از برخورد
ما ابتدا سرعت سنگ را هنگام برخورد محاسبه می‌کنیم. برای این کار از قانون بقای انرژی مکانیکی استفاده می‌کنیم که می‌گوید:
$
E_{\text{مکانیکی اولیه}} = E_{\text{مکانیکی نهایی}}
$
در ابتدا انرژی پتانسیل گرانشی سنگ داریم و در انتها انرژی جنبشی:
$
E_{\text{پتانسیل}} = mgh
$
که در آن:
- \( m = 5 \, \text{kg} \) جرم سنگ،
- \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) شتاب گرانش،
- \( h = 5 \, \text{m} \) ارتفاع است.
پس انرژی پتانسیل سنگ به شکل زیر محاسبه می‌شود:
$
E_{\text{پتانسیل}} = 5 \times 9.8 \times 5 = 245 \, \text{J}
$
این انرژی به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود، پس:
$
E_{\text{جنبشی}} = \frac{1}{2} m v^2
$
که در آن \( v \) سرعت سنگ است. از آنجا که انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود:
$
245 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2
$
حل برای \( v \):
$
245 = 2.5 \times v^2
$
$
v^2 = \frac{245}{2.5} = 98
$
$
v = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{m/s}
$
### مرحله دوم: محاسبه سرعت جبعه پس از برخورد
از آنجا که ما فرض کرده‌ایم که اصطکاک وجود ندارد و برخورد به طور کامل الاستیک است، انرژی جنبشی پس از برخورد بین سنگ و جبعه به‌طور کامل منتقل می‌شود.
پس سرعت جبعه بعد از برخورد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
برای برخوردهای کاملاً الاستیک (که در اینجا فرض کرده‌ایم)، از معادله قانون بقای تکانه استفاده می‌کنیم:
$
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
$
که در آن:
- \( m_1 = 5 \, \text{kg} \) (جرم سنگ),
- \( v_1 = 9.9 \, \text{m/s} \) (سرعت سنگ قبل از برخورد),
- \( m_2 = 2 \, \text{kg} \) (جرم جبعه),
- \( v_2 = 0 \, \text{m/s} \) (سرعت اولیه جبعه که در حالت سکون است),
- \( v_1' \) و \( v_2' \) سرعت‌های پس از برخورد سنگ و جبعه هستند.
با فرض اینکه برخورد کاملاً الاستیک باشد، می‌توانیم از فرمول‌های خاص برای برخوردهای الاستیک استفاده کنیم که سرعت‌های نهایی به این صورت محاسبه می‌شوند:
$
v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2}
$
$
v_2' = \frac{2 m_1 v_1 + (m_2 - m_1) v_2}{m_1 + m_2}
$
با جایگزین کردن مقادیر:
$
v_1' = \frac{(5 - 2) \times 9.9 + 2 \times 2 \times 0}{5 + 2} = \frac{3 \times 9.9}{7} \approx 4.24 \, \text{m/s}
$
$
v_2' = \frac{2 \times 5 \times 9.9 + (2 - 5) \times 0}{5 + 2} = \frac{2 \times 5 \times 9.9}{7} = \frac{99}{7} \approx 14.14 \, \text{m/s}
$
### نتیجه:
سرعت جبعه پس از برخورد تقریباً 14.14 متر بر ثانیه است.
