سرعت حرکت این جعبه چقدر است؟

تقریبا 14.14

برای حل این سوال، از قانون بقای انرژی مکانیکی و اصول برخورد استفاده می‌کنیم. ### مرحله اول: محاسبه سرعت سنگ قبل از برخورد ما ابتدا سرعت سنگ را هنگام برخورد محاسبه می‌کنیم. برای این کار از قانون بقای انرژی مکانیکی استفاده می‌کنیم که می‌گوید: $E_{\text{مکانیکی اولیه}} = E_{\text{مکانیکی نهایی}}$ در ابتدا انرژی پتانسیل گرانشی سنگ داریم و در انتها انرژی جنبشی: $E_{\text{پتانسیل}} = mgh$ که در آن: - \( m = 5 \, \text{kg} \) جرم سنگ، - \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) شتاب گرانش، - \( h = 5 \, \text{m} \) ارتفاع است. پس انرژی پتانسیل سنگ به شکل زیر محاسبه می‌شود: $E_{\text{پتانسیل}} = 5 \times 9.8 \times 5 = 245 \, \text{J}$ این انرژی به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود، پس: $E_{\text{جنبشی}} = \frac{1}{2} m v^2$ که در آن \( v \) سرعت سنگ است. از آنجا که انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود: $245 = \frac{1}{2} \times 5 \times v^2$ حل برای \( v \): $245 = 2.5 \times v^2$ $v^2 = \frac{245}{2.5} = 98$ $v = \sqrt{98} \approx 9.9 \, \text{m/s}$ ### مرحله دوم: محاسبه سرعت جبعه پس از برخورد از آنجا که ما فرض کرده‌ایم که اصطکاک وجود ندارد و برخورد به طور کامل الاستیک است، انرژی جنبشی پس از برخورد بین سنگ و جبعه به‌طور کامل منتقل می‌شود. پس سرعت جبعه بعد از برخورد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: برای برخوردهای کاملاً الاستیک (که در اینجا فرض کرده‌ایم)، از معادله قانون بقای تکانه استفاده می‌کنیم: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ که در آن: - \( m_1 = 5 \, \text{kg} \) (جرم سنگ), - \( v_1 = 9.9 \, \text{m/s} \) (سرعت سنگ قبل از برخورد), - \( m_2 = 2 \, \text{kg} \) (جرم جبعه), - \( v_2 = 0 \, \text{m/s} \) (سرعت اولیه جبعه که در حالت سکون است), - \( v_1' \) و \( v_2' \) سرعت‌های پس از برخورد سنگ و جبعه هستند. با فرض اینکه برخورد کاملاً الاستیک باشد، می‌توانیم از فرمول‌های خاص برای برخوردهای الاستیک استفاده کنیم که سرعت‌های نهایی به این صورت محاسبه می‌شوند: $v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ $v_2' = \frac{2 m_1 v_1 + (m_2 - m_1) v_2}{m_1 + m_2}$ با جایگزین کردن مقادیر: $v_1' = \frac{(5 - 2) \times 9.9 + 2 \times 2 \times 0}{5 + 2} = \frac{3 \times 9.9}{7} \approx 4.24 \, \text{m/s}$ $v_2' = \frac{2 \times 5 \times 9.9 + (2 - 5) \times 0}{5 + 2} = \frac{2 \times 5 \times 9.9}{7} = \frac{99}{7} \approx 14.14 \, \text{m/s}$ ### نتیجه: سرعت جبعه پس از برخورد تقریباً 14.14 متر بر ثانیه است.