بزرگ‌ترین عضو مجموعهٔ زیر کدام است؟

سلام.جواب سوال گزینه 2 عدد 80 می باشد. راه حل :اگر از ما بزرگ ترین عضو را می خواهد.پس باید به دنبال بزرگ ترین عدد ها برای x و y باشیم.بزرگ ترین اعداد که می تواند حاصل ضربشان 12 شود که هر 2 + باشند.3 و 4 است.حالا عدد 3 x است.و y 4 است.عدد 3 به توان 4 می رسد.می شود 81 از آن 1 عدد کم می کنیم.می شود 80 یعنی گزینه 2.و نکته دیگر حاصل عدد 4 به توان 3 عدد 64 می شود. و حاصل عدد 3 به توان 4 عدد 81 می شود‌‌.پس در نتیجه حالت دوم از حالت اول بزرگ تر است.

یه مسئله‌ای هست هم در مورد ضرب هم توان. این که توان و ریشه (یا دو عدد مضرب)، هرقدر به هم نزدیک تر باشن، بازده بیشتری میدن و عدد بزرگ تر. تو ضرب گفتیم که اگه دو عدد که جمعشون ثابت باشه داشته باشیم برای بیشترین حاصل ضرب باید دو عدد برابر باشن. مثلا جمع عدد 6 باشه باید 3 در 3 ضرب کنیم تا 9 به دست بیاد که بیشترین مقدار در میان اعداد با جمع 9 هست. 2 در 3 ضرب بشه میشه 6 و 1 در 6 هم خود 6 ولی 3 در 3 میشه 9. نظیر همین مسئله در توان هم وجود داره که میگیم در به توان رساندن دو عدد که حاصل ضربشون ثابت باشه و بیشترین مقدار به دست بیاد، هرقدر دو عدد توان و ریشه به هم نزدیک باشن عدد بزرگ ترین به دست میاد. حالا میریم سراغ سوال. سوال خواسته تا $x^y -1$ رو تایین بکنیم تا بیشترین مقدار ممکن باشرط حاصل ضرب $x y$ برابر 12 و این که عدد صحیح باشن مشخص کنیم. خب با توجه به مسئله‌ی بالا میفهمیم باید 12 رو تجزیه کنیم به عوامل، که میشه $12=2*2*3$ که با توجه به اینا 2 ضرب در 2 میشه 4 و عدد بعدی برابر 3 هست مقادیر مد نظر پیدا میشن. حالا $3^4$ بزرگ تره یا $4^3$؟ اولی. پس $x = 3$ و $y=4$. حالا حاصل میشه 81 که منهای 1 میشه 80 و گزینه 2.