برای نشان دادن اینکه اختلاف هر عدد سهرقمی و مقلوب آن بر 9 بخشپذیر است، ابتدا یک عدد سهرقمی را به صورت زیر تعریف میکنیم:
فرض کنید عدد سهرقمی abc باشد که در آن a، b و c به ترتیب رقمهای صدگان، دهگان و یکان هستند. بنابراین، این عدد را میتوان به صورت زیر نوشت:
N = 100a + 10b + c
حالا مقلوب این عدد را که به صورت cba است، محاسبه میکنیم:
M = 100c + 10b + a
حالا اختلاف این دو عدد را محاسبه میکنیم:
N - M = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)
با سادهسازی عبارت بالا، داریم:
N - M = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a
که با توجه به اینکه 10b و -10b یکدیگر را خنثی میکنند، میتوانیم بنویسیم:
N - M = 100a - a - 100c + c
این عبارت را میتوان به شکل زیر نوشت:
N - M = 99a - 99c
حالا میتوانیم عامل مشترک 99 را خارج کنیم:
N - M = 99(a - c)
از آنجا که 99 = 9 × 11، نتیجه میگیریم که N - M بر 9 بخشپذیر است.
### نتیجهگیری:
اختلاف هر عدد سهرقمی و مقلوب آن بر 9 بخشپذیر است.