به حالت جبری ثابت کنید که حاصل ضرب دو عدد فرد یک عدد فرد می‌شود؟

برای اثبات این موضوعات به صورت جبری، می‌توانیم از تعریف اعداد زوج و فرد استفاده کنیم. یک عدد زوج می‌تواند به صورت \(2n\) نوشته شود که در آن \(n\) یک عدد صحیح است، و یک عدد فرد می‌تواند به صورت \(2m+1\) نوشته شود که در آن \(m\) نیز یک عدد صحیح است. اثبات حاصل ضرب دو عدد فرد: فرض کنید دو عدد فرد داریم که به صورت \(2a+1\) و \(2b+1\) هستند، که در آن \(a\) و \(b\) اعداد صحیح هستند. حاصل ضرب این دو عدد فرد خواهد بود: $$ (2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 $$ که می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد: $$ 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 $$ در اینجا، \(2ab + a + b\) یک عدد صحیح است، پس \(2(2ab + a + b)\) یک عدد زوج است و وقتی 1 را به آن اضافه می‌کنیم، نتیجه یک عدد فرد خواهد بود. اثبات حاصل ضرب یک عدد زوج و یک عدد فرد: فرض کنید یک عدد زوج و یک عدد فرد داریم که به صورت \(2n\) و \(2m+1\) هستند. حاصل ضرب این دو عدد خواهد بود: $$ 2n(2m+1) = 4nm + 2n $$ که می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد: $$ 4nm + 2n = 2(2nm + n) $$ در اینجا، \(2nm + n\) یک عدد صحیح است، پس \(2(2nm + n)\) یک عدد زوج خواهد بود. بنابراین، با استفاده از تعریف‌های جبری، ثابت کردیم که حاصل ضرب دو عدد فرد یک عدد فرد است و حاصل ضرب یک عدد زوج و یک عدد فرد یک عدد زوج است.