اگر اضلاع مثلث قائم الزاویه تشکیل تصاعد هندسی دهند، قدر نسبت چقدر است؟

سلام. سوال جالبی مطرح کردین ، در کتاب درسی ، دنباله حسابی اومده بود ولی هندسی جالبتره. اگر فرض کنیم اضلاع مثلث قائم الزاویه $ΔABC$ عبارتند از $a,b,c$ ؛ و زاویه $C$ قائمه باشد ، آنگاه خواهیم داشت : $$a \leq b < c$$ علامت کوچکتر مساوی را با علامت کوچکتر جایگزین میکنیم زیرا در آن صورت قدر نسبت باید یک می‌بود و باید علامت کوچکتر مساوی تکرار میشد ، پس داریم : $$a < b < c$$ آنگاه دنباله $a,b,c$ خواهد بود. بنابر قضیه فیثاغورس و واسطه هندسی داریم : $$b^2 = ac , c^2 = a^2 + b^2$$ آنگاه به حل معادله میپردازیم : $$c^2 - a^2 = ac = b^2$$ پس : $$c^2 - ac - a^2 = 0$$ با روش دلتا داریم : $$c = \frac{a}{2}(1 \pm \sqrt{5})$$ به جای $\pm$ باید + نوشت زیرا ضلع نمی‌تواند منفی باشد پس : $$c = \frac{a}{2}(1 + \sqrt{5})$$ سپس : $$r^2 = \frac{c}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$r = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$$ که جواب جالبی است : $$r = \sqrt{φ}$$ امیدوارم مفید باشه.

سلام اگر کسی نظری دیگر دارد لطفا ارسال کند.

در پاسخ به: محمدرضا هاشم زاده

سلام. سوال جالبی مطرح کردین ، در کتاب درسی ، دنباله حسابی اومده بود ولی هندسی جالبتره. اگر فرض کنیم اضلاع مثلث قائم الزاویه $ΔABC$ عبارتند از $a,b,c$ ؛ و زاویه $C$ قائمه باشد ، آنگاه خواهیم داشت : $$a \leq b &lt; c$$ علامت کوچکتر مساوی را با علامت کوچکتر جایگزین میکنیم زیرا در آن صورت قدر نسبت باید یک می‌بود و باید علامت کوچکتر مساوی تکرار میشد ، پس داریم : $$a &lt; b &lt; c$$ آنگاه دنباله $a,b,c$ خواهد بود. بنابر قضیه فیثاغورس و واسطه هندسی داریم : $$b^2 = ac , c^2 = a^2 + b^2$$ آنگاه به حل معادله میپردازیم : $$c^2 - a^2 = ac = b^2$$ پس : $$c^2 - ac - a^2 = 0$$ با روش دلتا داریم : $$c = \frac{a}{2}(1 \pm \sqrt{5})$$ به جای $\pm$ باید + نوشت زیرا ضلع نمی‌تواند منفی باشد پس : $$c = \frac{a}{2}(1 + \sqrt{5})$$ سپس : $$r^2 = \frac{c}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$r = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$$ که جواب جالبی است : $$r = \sqrt{φ}$$ امیدوارم مفید باشه.

که اسم مثلث هم مثلث کپلر هستش :)