مقادیر مثلثاتی را برای زاویه 18 درجه بدست آورید.

سلام. $$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$$ $$\cos{2x} = \cos{x}^2 - \sin{x}^2$$ $$\sin{90 - x} = \cos{x}$$ حالا : $$\sin{72} = 2\sin{36}\cos{36} = 2(2\sin{18}\cos{18})(\cos{18}^2 - \sin{18}^2)$$ $$= 4\sin{18}\cos{18}(1 - 2\sin{18}^2)$$ $$= \sin{72} = \sin{90 - 18} = cos{18}$$ عبارت $\cos{18}$ را در هر دو طرف خط میزنیم : $$4\sin{18}(1 - 2\sin{18}^2) = 1$$ حالا متغیر رو بصورت $u = \sin{18}$ تغییر میدیم : $$4u(1 - 2u^2) = 1$$ $$\rightarrow 8u^3 - 4u + 1 = 0$$ معادله رو تجزیه میکنیم : $$= 2(u - \frac{1}{2})(4u^2 + 2x - 1) = 0$$ ریشه ها عبارتند از : $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$ $$\frac{-\sqrt{5} - 1}{4}$$ جواب اول غیر قابل قبوله چون سینوس 18 درجه باید کمتر از نیم باشه ، از طرفی جواب سوم هم نیست چون سینوس 18 درجه تو ناحیه 1 هستش و باید مثبت باشه پس جواب ، جواب دومیه. حالا کسینوس : $$\cos{18}^2 = 1 - \sin{18}^2 = 1 - (\frac{\sqrt{5} - 1}{4})^2$$ $$= 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$$ $$\cos{18} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}}{2}$$ حالا تانژانت : $$1 + \tan{18}^2 = \frac{1}{\cos{18}^2}$$ $$= \frac{1}{(\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}})^2} = \frac{1}{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} = \frac{8}{\sqrt{5} + 5} = \frac{8(5 - \sqrt{5})}{20} = \frac{2(5 - \sqrt{5})}{5}$$ $$\tan{18}^2 = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{5} - 1 = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{5} = 1 - \frac{2}{\sqrt{5}}$$ $$\tan{18} = \sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}$$ امیدوارم مفید باشه.