ثابت کنید اگر دو زاویه از مثلثی باهم برابر باشند آن مثلث متساوی الساقین است.

برای ثابت کردن این گزاره، از قضیه‌ی معروف برابری زاویه‌های مقابل اضلاع برابر در مثلث‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید ABC یک مثلث باشد و زاویه A و زاویه B برابر باشند، یعنی: ∠A = ∠B حالا می‌خواهیم ثابت کنیم که اگر این دو زاویه برابر باشند، مثلث ABC متساوی الساقین است. برای اثبات این موضوع، از اصول متساوی الساقین استفاده می‌کنیم: اصول متساوی الساقین: اگر در یک مثلث، دو ضلع برابر به دو ضلع دیگر نزدیک شوند و زاویه‌ای مقابل آن‌ها برابر باشد، آنگاه زاویه‌های مقابل اضلاع برابر نیز می‌شوند و مثلث متساوی الساقین خواهد بود. حالا به اثبات با اصول متساوی الساقین می‌پردازیم: 1. زاویه A و زاویه B برابر هستند (برابری داده شده). 2. میدانیم زاویه C = 180 - (زاویه A + زاویه B) (به دلیل مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با 180 درجه است). 3. با جایگذاری مقادیر داریم: زاویه C = 180 - 2A. حالا مقایسه می‌کنیم: اگر در یک مثلث دو زاویه مقابل دو ضلع برابر با هم باشند، طول ضلع‌های مقابل آن‌ها نیز برابر است. زاویه A و زاویه B برابر هستند، بنابراین طول ضلع مقابل آن‌ها (BC) نیز برابر است. زاویه A و زاویه C برابر نیستند (زیرا زاویه C = 180 - 2A و زاویه A = A)، بنابراین طول ضلع مقابل زاویه‌ی C (AB) نیز برابر نیست. زاویه B و زاویه C برابر نیستند (زیرا زاویه C = 180 - 2A و زاویه B = B)، بنابراین طول ضلع مقابل زاویه‌ی B (AC) نیز برابر نیست. بنابراین، از اصول متساوی الساقین نتیجه می‌شود که مثلث ABC متساوی الساقین نیست. این موضوع نقض اینتخابمان است. به این ترتیب، اگر دو زاویه از مثلث با هم برابر باشند، مثلث متساوی الساقین خواهد بود.

اگر فرض شود متساوی الساقین نیستند نتیجه میشود که زاویه‌ی B و زاویه‌ی C طبق قضیه‌ی نابرابری اضلاع و زاویه‌ها در فصل یک کتاب، با هم برابر نیستند که این خلاف فرض است. پس حکم درست است