کدام گزینه همواره صحیح است؟

گزینه 3 درسته BD رو رسم کن C= CBD $BDA=C+CBD=2C$ پس $ABD = 2C$ $DBC = C$ پس $B= DBC + ABD = 3C$

برای حل این سوال، از خاصیتی که از وجود عمودمنصف در مثلث‌ها می‌دانیم، یعنی اینکه عمودمنصف یک ضلع مثلث، آن را به دو نیمه‌ی مساوی تقسیم می‌کند، استفاده می‌کنیم. شرط مسئله می‌گوید عمودمنصف BC، ضلع AC را در نقطه D قطع می‌کند و همچنین AB = AD. بنابراین، نقطه D باید نقطه‌ی وسط ضلع AC باشد. حالا با توجه به نقطه D که نقطه‌ی وسط ضلع AC است، می‌توانیم شرایط مثلث ABC را بررسی کنیم: 1) اگر A = 2C باشد، نقطه D نقطه‌ی وسط ضلع AC نخواهد بود و شرط مسئله برقرار نخواهد شد. پس گزینه 1 اشتباه است. 2) اگر A = B باشد، می‌توانیم بگوییم که زاویه‌ی C نیز برابر با A است، چون زاویه‌های متناظر با ضلع‌های مساوی همانند هم هستند. پس این گزینه صحیح است. 3) اگر B = 3C باشد، نقطه D نقطه‌ی وسط ضلع AC نخواهد بود و شرط مسئله برقرار نخواهد شد. پس گزینه 3 اشتباه است. 4) اگر B = 2C باشد، نقطه D نقطه‌ی وسط ضلع AC نخواهد بود و شرط مسئله برقرار نخواهد شد. پس گزینه 4 نیز اشتباه است. بنابراین، تنها گزینه‌ی صحیح در این مسئله، گزینه 2 (A = B) است.