ثابت کنید مربع هر عدد فرد در تقسیم بر 8 دارای باقی مانده 1 می‌شود.

برای ثابت کردن این ویژگی برای مربع هر عدد فرد، ابتدا عدد فرد را به صورت 2n+1 تعریف کنیم (که n عدد طبیعی است)، سپس مربع آن را به شکل زیر محاسبه می‌کنیم: (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 حالا به طور کلی، برای مشاهده باقی‌مانده از تقسیم عدد بالا بر 8، از قانون باقی‌مانده استفاده می‌کنیم. برای تقسیم اعداد صحیح بر 8، می‌توان از باقی‌ماندهای زیر استفاده کرد: 0 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 0 1 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 1 2 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 2 3 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 3 4 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 4 5 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 5 6 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 6 7 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 7 حالا با توجه به این قانون، می‌توانیم باقی‌ماندهای محاسبه‌شده را به اعداد صحیح 2n + 1 اعمال کنیم: 4n^2 + 4n + 1 ÷ 8 حالا ما می‌خواهیم ثابت کنیم که این عبارت دارای باقی‌ماندهای مختلف است، به عبارت دیگر، باقی‌ماندهای زیر ممکن است به این عبارت منتسب شوند: 1 ÷ 8 = 0 باقی‌مانده: 1 9 ÷ 8 = 1 باقی‌مانده: 1 17 ÷ 8 = 2 باقی‌مانده: 1 25 ÷ 8 = 3 باقی‌مانده: 1 ... همانطور که می‌بینید، برای همه‌ی اعداد فرد 2n + 1 (که نماینده‌ی مربع‌های اعداد فرد هستند)، باقی‌ماندهای مختلف ممکن است به شکل 1 باشند. این نشان می‌دهد که مربع هر عدد فرد حتماً در تقسیم بر 8 باقی‌ماندهای 1 را می‌دهد. بنابراین، این ویژگی ثابت است که مربع هر عدد فرد در تقسیم بر 8 باقی‌ماندهای 1 دارد.

=²(2q+1) =4q²+4q+1 ☆2=q+1)4q)+1 (q+1)q) 1+☆8