سلام عزیز
:)
صورت سوال به بیان ریاضی:
ثابت کنید که اگر
a/b < c/d
آنگاه
a/b < a+c/b+d < c/d
اثبات:
بخش اول(سمت چپ نامعادله):
فرض: (a/b) < (c/d) حکم: (a/b) < (a+c) / (b+d)
دو طرف نامعادله فرضی را در bd ضرب میکنیم؛ داریم:
ad < bc
حال دو طرف نامعادله را با ab جمع میکنیم؛ داریم:
ad+ab < bc+ab
حال از a در سمت چپ و از b در سمت راست نامعادله فاکتور میگیریم؛ داریم:
(a(b+d) < b(c+a
دو طرف را تقسیم بر b میکنیم:
(a/b)(b+d) < (c+a)
دو طرف را تقسیم بر (b+d) میکنیم:
(a/b) < (c+a) / (b+d)
یعنی [(a/b) < [(a+c) / (b+d) پس سمت چپ نامعادله اثبات شد؛ برای سمت راست هم مشابه همین مراحل طی میشود:
بخش دوم(سمت راست نامعادله):
فرض: (a/b) < (c/d) حکم: (a+c) / (b+d) < (c/d)
دو طرف نامعادله فرض را در bd ضرب میکنیم؛ داریم:
ad < bc
حال دو طرف نامعادله را با cd جمع میکنیم؛ داریم:
ad+cd < bc+cd
اینک از d در سمت چپ و از c در سمت راست نامعادله فاکتور میگیریم؛ داریم:
(d(a+c) < c(b+d
دو طرف را تقسیم بر d میکنیم:
(a+c) < (c/d)(b+d)
دو طرف را تقسیم بر (b+d) میکنیم:
(a+c) / (b+d) < (c/d)
یعنی (a+c) / (b+d)] < (c/d)] پس سمت راست نامعادله نیز اثبات شد؛ بنابراین:
(a/b) < [(a+c) / (b+d)] < (c/d)
موید باشی :)